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MySQL 索引数据结构


MySQL支持诸多存储引擎,而各种存储引擎对索引的支持也各不相同,因此MySQL数据库支持多种索引类型,如BTree索引,哈希索引,全文索引等等。

数据结构及算法基础

MySQL官方对索引的定义为:索引(Index)是帮助MySQL高效获取数据的数据结构。提取句子主干,就可以得到索引的本质:索引是数据结构。

我们知道,数据库查询是数据库的最主要功能之一。我们都希望查询数据的速度能尽可能的快,因此数据库系统的设计者会从查询算法的角度进行优化。最基本的查询算法当然是顺序查找(linear search),这种复杂度为O(n)的算法在数据量很大时显然是糟糕的,好在计算机科学的发展提供了很多更优秀的查找算法,例如二分查找(binary search)、二叉树查找(binary tree search)等。如果稍微分析一下会发现,每种查找算法都只能应用于特定的数据结构之上,例如二分查找要求被检索数据有序,而二叉树查找只能应用于二叉查找树上,但是数据本身的组织结构不可能完全满足各种数据结构(例如,理论上不可能同时将两列都按顺序进行组织),所以,在数据之外,数据库系统还维护着满足特定查找算法的数据结构,这些数据结构以某种方式引用(指向)数据,这样就可以在这些数据结构上实现高级查找算法。这种数据结构,就是索引。

上图展示了一种可能的索引方式。左边是数据表,一共有两列七条记录,最左边的是数据记录的物理地址(注意逻辑上相邻的记录在磁盘上也并不是一定物理相邻的)。为了加快Col2的查找,可以维护一个右边所示的二叉查找树,每个节点分别包含索引键值和一个指向对应数据记录物理地址的指针,这样就可以运用二叉查找在O(log2n)的复杂度内获取到相应数据。

虽然这是一个货真价实的索引,但是实际的数据库系统几乎没有使用二叉查找树或其进化品种红黑树(red-black tree)实现的,原因会在下文介绍。

B-Tree

目前大部分数据库系统及文件系统都采用B-Tree或其变种B+Tree作为索引结构,在本文的下一节会结合存储器原理及计算机存取原理讨论为什么B-Tree和B+Tree在被如此广泛用于索引,这一节先单纯从数据结构角度描述它们。

B-Tree

是一种多路搜索树(并不是二叉的):

  1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子;且M>2;
  2. 根结点的儿子数为[2, M];
  3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M];
  4. 每个结点存放至少M/2-1(取上整)和至多M-1个关键字;(至少2个关键字)
  5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1;
  6. 非叶子结点的关键字:K[1], K[2], …, K[M-1];且K[i] < K[i+1];
  7. 非叶子结点的指针:P[1], P[2], …, P[M];其中P[1]指向关键字小于K[1]的
  8. 子树,P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树,其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树;
  9. 所有叶子结点位于同一层;
  10. 每个k对应一个data。

如:(M=3)相当于一个2–3树,2–3树是一个这样的一棵树, 它的每个节点要么有2个孩子和1个数据元素,要么有3个孩子和2个数据元素,叶子节点没有孩子,并且有1个或2个数据元素。

B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点。

B-树的特性

  1. 关键字集合分布在整颗树中;
  2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中;
  3. 搜索有可能在非叶子结点结束;
  4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找;
  5. 自动层次控制;

B-树的自控制

B树中每一个内部节点会包含一定数量的键值。通常,键值的数量被选定在d和2d之间。在实际中,键值占用了节点中大部分的空间。因数2将保证节点可以被拆分或组合。如果一个内部节点有2d个键值,那么添加一个键值给此节点的过程,将会拆分2d键值为2个d键值的节点,并把此键值添加给父节点。每一个拆分的节点需要最小数目的键值。相似地,如果一个内部节点和他的邻居两者都有d个键值,那么将通过它与邻居的合并来删除一个键值。删除此键值将导致此节点拥有d-1个键值;与邻居的合并则加上d个键值,再加上从邻居节点的父节点移来的一个键值。结果为完全填充的2d个键值。

B-树的构造过程

下面是往B树中依次插入
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

B+Tree

B-Tree有许多变种,其中最常见的是B+Tree,例如MySQL就普遍使用B+Tree实现其索引结构。

与B-Tree相比,B+Tree有以下不同点:

  1. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同;
  2. 非叶子结点的子树指针P[i],指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树(B-树是开区间);
  3. 为所有叶子结点增加一个链指针;
  4. 所有关键字都在叶子结点出现;
  5. 内节点不存储data,只存储key。

如:(M=3)

B+的搜索与B-树也基本相同,区别是B+树只有达到叶子结点才命中(B-树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找;

B+的特性

  1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(稠密索引),且链表中的关键字恰好是有序的;
  2. 不可能在非叶子结点命中;
  3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层;
  4. 更适合文件索引系统;

B+树的构造过程

下面是往B+树中依次插入
6 10 4 14 5 11 15 3 2 12 1 7 8 8 6 3 6 21 5 15 15 6 32 23 45 65 7 8 6 5 4

为什么使用B-Tree(B+Tree)

上文说过,红黑树等数据结构也可以用来实现索引,但是文件系统及数据库系统普遍采用B-/+Tree作为索引结构,这一节将结合计算机组成原理相关知识讨论B-/+Tree作为索引的理论基础。

一般来说,索引本身也很大,不可能全部存储在内存中,因此索引往往以索引文件的形式存储的磁盘上。这样的话,索引查找过程中就要产生磁盘I/O消耗,相对于内存存取,I/O存取的消耗要高几个数量级,所以评价一个数据结构作为索引的优劣最重要的指标就是在查找过程中磁盘I/O操作次数的渐进复杂度。换句话说,索引的结构组织要尽量减少查找过程中磁盘I/O的存取次数。下面先介绍内存和磁盘存取原理,然后再结合这些原理分析B-/+Tree作为索引的效率。

主存存取原理

目前计算机使用的主存基本都是随机读写存储器(RAM),现代RAM的结构和存取原理比较复杂,这里本文抛却具体差别,抽象出一个十分简单的存取模型来说明RAM的工作原理。

从抽象角度看,主存是一系列的存储单元组成的矩阵,每个存储单元存储固定大小的数据。每个存储单元有唯一的地址,现代主存的编址规则比较复杂,这里将其简化成一个二维地址:通过一个行地址和一个列地址可以唯一定位到一个存储单元。上图展示了一个4 x 4的主存模型。

主存的存取过程如下:

  • 当系统需要读取主存时,则将地址信号放到地址总线上传给主存,主存读到地址信号后,解析信号并定位到指定存储单元,然后将此存储单元数据放到数据总线上,供其它部件读取。
  • 写主存的过程类似,系统将要写入单元地址和数据分别放在地址总线和数据总线上,主存读取两个总线的内容,做相应的写操作。
  • 这里可以看出,主存存取的时间仅与存取次数呈线性关系,因为不存在机械操作,两次存取的数据的“距离”不会对时间有任何影响,例如,先取A0再取A1和先取A0再取D3的时间消耗是一样的。

磁盘存取原理 

上文说过,索引一般以文件形式存储在磁盘上,索引检索需要磁盘I/O操作。与主存不同,磁盘I/O存在机械运动耗费,因此磁盘I/O的时间消耗是巨大的。

一个磁盘由大小相同且同轴的圆形盘片组成,磁盘可以转动(各个磁盘必须同步转动)。在磁盘的一侧有磁头支架,磁头支架固定了一组磁头,每个磁头负责存取一个磁盘的内容。磁头不能转动,但是可以沿磁盘半径方向运动(实际是斜切向运动),每个磁头同一时刻也必须是同轴的,即从正上方向下看,所有磁头任何时候都是重叠的(不过目前已经有多磁头独立技术,可不受此限制)。

盘片被划分成一系列同心环,圆心是盘片中心,每个同心环叫做一个磁道,所有半径相同的磁道组成一个柱面。磁道被沿半径线划分成一个个小的段,每个段叫做一个扇区,每个扇区是磁盘的最小存储单元。为了简单起见,我们下面假设磁盘只有一个盘片和一个磁头。

当需要从磁盘读取数据时,系统会将数据逻辑地址传给磁盘,磁盘的控制电路按照寻址逻辑将逻辑地址翻译成物理地址,即确定要读的数据在哪个磁道,哪个扇区。为了读取这个扇区的数据,需要将磁头放到这个扇区上方,为了实现这一点,磁头需要移动对准相应磁道,这个过程叫做寻道,所耗费时间叫做寻道时间,然后磁盘旋转将目标扇区旋转到磁头下,这个过程耗费的时间叫做旋转时间。

局部性原理与磁盘预读

由于存储介质的特性,磁盘本身存取就比主存慢很多,再加上机械运动耗费,磁盘的存取速度往往是主存的几百分分之一,因此为了提高效率,要尽量减少磁盘I/O。为了达到这个目的,磁盘往往不是严格按需读取,而是每次都会预读,即使只需要一个字节,磁盘也会从这个位置开始,顺序向后读取一定长度的数据放入内存。这样做的理论依据是计算机科学中著名的局部性原理:

当一个数据被用到时,其附近的数据也通常会马上被使用。

程序运行期间所需要的数据通常比较集中。

由于磁盘顺序读取的效率很高(不需要寻道时间,只需很少的旋转时间),因此对于具有局部性的程序来说,预读可以提高I/O效率。

预读的长度一般为页(page)的整倍数。页是计算机管理存储器的逻辑块,硬件及操作系统往往将主存和磁盘存储区分割为连续的大小相等的块,每个存储块称为一页(在许多操作系统中,页得大小通常为4k),主存和磁盘以页为单位交换数据。当程序要读取的数据不在主存中时,会触发一个缺页异常,此时系统会向磁盘发出读盘信号,磁盘会找到数据的起始位置并向后连续读取一页或几页载入内存中,然后异常返回,程序继续运行。

B-/+Tree索引的性能分析

到这里终于可以分析B-/+Tree索引的性能了。

上文说过一般使用磁盘I/O次数评价索引结构的优劣。先从B-Tree分析,根据B-Tree的定义,可知检索一次最多需要访问h个节点。数据库系统的设计者巧妙利用了磁盘预读原理,将一个节点的大小设为等于一个页,这样每个节点只需要一次I/O就可以完全载入。为了达到这个目的,在实际实现B-Tree还需要使用如下技巧:

每次新建节点时,直接申请一个页的空间,这样就保证一个节点物理上也存储在一个页里,加之计算机存储分配都是按页对齐的,就实现了一个node只需一次I/O。

B-Tree中一次检索最多需要h-1次I/O(根节点常驻内存),渐进复杂度为O(h)=O(logdN)O(h)=O(logdN)。一般实际应用中,出度d是非常大的数字,通常超过100,因此h非常小(通常不超过3)。

综上所述,用B-Tree作为索引结构效率是非常高的。

而红黑树这种结构,h明显要深的多。由于逻辑上很近的节点(父子)物理上可能很远,无法利用局部性,所以红黑树的I/O渐进复杂度也为O(h),效率明显比B-Tree差很多。

上文还说过,B+Tree更适合外存索引,原因和内节点出度d有关。从上面分析可以看到,d越大索引的性能越好,而出度的上限取决于节点内key和data的大小:

dmax=floor(pagesize/(keysize+datasize+pointsize))dmax=floor(pagesize/(keysize+datasize+pointsize))

floor表示向下取整。由于B+Tree内节点去掉了data域,因此可以拥有更大的出度,拥有更好的性能。

这一章从理论角度讨论了与索引相关的数据结构与算法问题,下一章将讨论B+Tree是如何具体实现为MySQL中索引,同时将结合MyISAM和InnDB存储引擎介绍非聚集索引和聚集索引两种不同的索引实现形式。